Arithmetische, geometrische und logarithmische Rendite

Der dritte und letzte Teil dieser kurzen Serie erklärt die arithmetische, geometrische und logarithmische Rendite.

Auf den ersten Blick sind Renditeberechnungen ganz einfach, aber im Detail dann doch kompliziert – vor allem, wenn es um Durchschnittsrenditen geht. Im einfachsten Fall werden diese arithmetisch als Mittelwert aller Jahresrenditen berechnet. Für den DAX ergab sich auf diese Weise in den 30 Jahren von 1990 bis 2019 eine durchschnittliche Rendite von 9,67 % pro Jahr.

Doch das ist nicht die jährliche Wachstumsrate, die inklusive Zinseszinseffekt vom Start- auf den Endwert der Zeitreihe führt. Diese wahre, geometrische Durchschnittsrendite beträgt für den gleichen Zeitraum nur 6,9 %.

Ein Beispiel

Der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Rendite kommt durch die Volatilität der Kurse zustande. Je höher diese ist, desto größer die Differenz (siehe Grafik). Das lässt sich anhand eines extremen Beispiels zeigen: Fällt der Index in einem Jahr um 50 % und steigt im nächsten Jahr um 100 %, liegt die arithmetische Rendite bei 25 % [(−50 % + 100 %) / 2]. Die geometrische Rendite liegt dagegen bei 0 %.

„Korrekt“ aus Sicht des Anlegers ist deshalb die geometrische Rendite. Denn der Index hat sich nach einem Verlust von 50 % und einem Wiederanstieg um 100 % per Saldo nicht bewegt. In der Praxis werden aber gern die arithmetischen Durchschnittsrenditen angegeben, da diese stets höher sind und deshalb einen besseren Eindruck vermitteln.

Die logarithmische Rendite

Zum Abschluss folgt noch ein Blick auf die scheinbar komplizierte Log-Rendite. Dabei handelt es sich um ein finanzmathematisches Konstrukt, das in Schulen unter dem Begriff der stetigen Rendite gelehrt wird. Durch die Logarithmierung erhält man eine Rendite, die bei theoretisch „unendlich schneller“, also fortlaufender Verzinsung erzielt wird.

Zum Beispiel erzielte der DAX im Jahr 2019 eine Rendite von 25,48 %. Die Log-Rendite dazu ist 22,69 % [Berechnung: LN (1,2548)]. Würde man also mit einer Rendite pro Sekundenbruchteil rechnen, die 22,69 % im Jahr entspricht, kommen letztlich dank des „unendlichen“ Zinseszinseffekts 25,48 % einmalige Jahresrendite heraus.

Die Log-Rendite ist dabei stets kleiner als Renditen auf Wochen-, Monats- oder Jahresbasis. Das gilt auch bei negativen Renditen. Im Jahr 2018 verlor der DAX 18,26 %, was einer Log-Rendite von −20,16 % entspricht. Von 1990 bis 2019 erzielte der Index einen „permanenten Zins“ von 6,67 %, was aufs Jahr gerechnet genau der geometrischen Durchschnittsrendite von 6,9 % entspricht.

Ein Vorteil der Log-Renditen ist, dass sie nahe an einer Normalverteilung ausgerichtet sind, sodass sie vor allem für wissenschaftliche Untersuchungen verwendet werden. So lassen sich Statistiken berechnen, die vereinfachenden Annahmen gerecht werden und dabei gleichzeitig realistisch sind.

Fazit

Die drei Teile dieser Serie haben einen groben Überblick über unterschiedliche Renditebegriffe gegeben. Angefangen bei der Brutto- und Nettorendite über die nominale vs. reale Rendite und die Überrendite bis hin zu arithmetischer, geometrischer und logarithmischer Rendite. Auf einen einfachen Fakt können sich Anleger dabei künftig verlassen: Je höher die Rendite und je länger der Zeitraum, über den diese erzielt wird, desto besser für das Anlageergebnis.

Dieser Artikel stammt aus der AnlegerPlus-Ausgabe 8/2022.

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